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部分積分が楽しくなるテーブル法

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左下が0にならない場合

この問題をやってみましょう。

\(\int e^x\cos xdx\)

\(e^x\)は指数関数、\(\cos x\)は三角関数なので、\(\cos x\)をテーブルの左側に書いて微分します。

部分積分テーブル法

ところが、\(\cos x\)を微分すると\(-\sin x\)→\(-\cos x\)→\(\sin x\)→\(\cos x\)→・・・と循環してしまうため、0になることは永遠にありません。

どうしたらいいのでしょうか?

テーブル法では解けない!?

いえいえ、そんなことはありません。

積分の登場

テーブル法を使わずに解くとこうなります。

部分積分テーブル法

\(I=\int e^x\cos xdx\)とおくのがポイントですね。

これを踏まえてテーブル法で解いていきます。

まずテーブルをここまで作ります。

部分積分テーブル法

左下は\(-\cos x\)で止めます。

ここからがポイントです。

左下が0でないときは、一番下どうしをかけて積分にします。

画像の説明

符号はプラス、マイナスが交互になるようにつけます。

色で囲んだ部分を見ると、さっきの普通のやり方との対応関係がわかると思います。

積分も追加すると、\(\cos xe^x+\sin xe^x-\int\cos xe^xdx\)となり、その先は普通の解き方と同じ流れで解くことができます。

画像の説明

まとめると、「左下が0でないときは、一番下どうしで積分を作る」ということになります。

練習問題

(1)\(\int e^x\sin xdx\)
(2)\(\int e^{-x}\cos xdx\)

(1)の解答

部分積分テーブル法

(2)の解答

部分積分テーブル法

これで左下が0でないときも解けるようになりました。

しかし、なぜ積分を作るんでしょうか?

それはテーブル法の仕組みに関係があります。

動画版

このページの内容の動画版です。わかりにくかった人はこっちで。


解答集

代表的な問題をテーブル法で解きました。「この問題、テーブル法でどうやって解くんだろう?」と思ったらまずこれをチェック!


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