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部分積分が楽しくなるテーブル法

どっちが積分でどっちが微分だったっけ・・・


部分積分は計算のルールがややこしくて嫌になりませんか?

部分積分の公式

\(\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)

でも海外で知られている「テーブル法」を使うと計算がすごく簡単になって、解くのが楽しくなってきます。

この記事を読むと、

[check]部分積分が簡単に計算できる
[check]部分積分の公式を忘れなくなる
[check]どちらを積分してどちらを微分すればいいかわかるようになる
[check]部分積分を計算するのが楽しくなる

普通のやり方

まず公式どおりやってみます。

(1)\(\int(2x+3)e^xdx\\=(2x+3)e^x-\int 2e^xdx\\=(2x+3)e^x-2e^x+C\\=(2x+1)e^x+C\)

(2)\(\int x^2\sin xdx\\=x^2(-\cos x)-\int 2x(-\cos x)dx\\=-x^2\cos x+\int2\cos xdx\\=-x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx\\=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\)

(2)は部分積分を2回使う必要があります。微分か積分か考えたり符号に気をつけないといけないので意外と神経を使います。

テーブル法のやり方

同じ問題をテーブル法でやってみます。

(1)\(\int(2x+3)e^xdx\)

公式の\(f(x),g'(x)\)に対応する式を横に並べて書きます。この問題では\(f(x)=2x+3,g(x)=e^x\)です。

部分積分テーブル法

次に\(2x+3\)を0になるまでどんどん微分して下に書いていきます。\(2x+3\)を微分すると2、2を微分すると0になるので、図のようになります。

部分積分テーブル法

次に\(e^x\)をどんどん積分して下に書いていきます。今回はずっと\(e^x\)のままです。

部分積分テーブル法

これでテーブルが完成しました。

次に図のような線を引きます。

部分積分テーブル法

符号はプラス、マイナスを交互につけます。

そして計算したものを右側に書きます。

部分積分テーブル法

それを筆算のように足し合わせて積分定数Cをつけるとできあがりです。

部分積分テーブル法

さっき公式で求めた答えと一致しています。

簡単でしょう?

でもまだ序の口です。(2)はもっとすごいです。

解答集

代表的な問題をテーブル法で解きました。「この問題、テーブル法でどうやって解くんだろう?」と思ったらまずこれをチェック!

掲示板

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