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群数列が楽しくなる「あぶりだし法」

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1,2,2,3,3,3,4,・・・

のように自然数\(n\)が\(n\)個ずつ並んでいる数列がある。

(1)はじめて30があらわれるのは第何項か
(2)第50項を求めよ
(3)初項から第50項までの和を求めよ。

ステップ2「表を使って問題を解く」

ステップ1で作った表を元に問題を解いていきます。

群数列あぶりだし法

(1)はじめて30があらわれるのは第何項か

表の第\(n\)群の情報を見ながら考えます。

群数列あぶりだし法

問題の30というのは項のことですから、\(n\)=30ということです。

群数列あぶりだし法

\(a_{436}\)ではじめて30が現れることが読み取れるので、答えは第436項です。

(2)第50項を求めよ

第50項というのは\(a_{50}\)のことです。\(a_{50}\)が第\(n\)群に含まれると仮定するとこうなります。

群数列あぶりだし法

添え字から、以下の不等式が成り立ちます。

\(\frac{1}{2}n(n-1)+1\leqq50\leqq\frac{1}{2}n(n+1)\)

計算を楽にするために以下のように書き換えます。

\(\frac{1}{2}n(n-1)<50\leqq\frac{1}{2}n(n+1)\)

全体に2をかけて

\(n(n-1)<100\leqq n(n+1)\)

これを満たすのは\(n\)=10です。

表に\(n\)=10を代入するとこうなります。

群数列あぶりだし法

\(a_{50}\)=10より答えは10です。

(3)初項から第50項までの和を求めよ。

以下の赤い部分の総和を求めるということです。

群数列あぶりだし法

まず第\(n\)群の総和\(S_n\)を求めます。

第\(n\)群には\(n\)が\(n\)個あるので、\(S_n=n\times n=n^2\)

第1群から第9群までの和は\(S_1+S_2+S_3+\cdots+S_9\)で求められます。

第10群は\(a_{46}\)から\(a_{50}\)まで10が5個並んでいるので、50です。

よって初項から第50項までの和は

\[\sum_{k=1}^{9}S_k+50=\sum_{k=1}^{9}k^2+50=\frac{1}{6}\{9\times(9+1)\times(2\times9+1)\}+50\\=285+50=335\]

となります。

解説動画

この問題を解説した動画です。


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