数学や物理は楽しくて面白いから好きになる

群数列が楽しくなる「あぶりだし法」

群数列っていろんな数字が出てきてややこしいですよね。苦手だった人も多いと思います。

私も高校時代はかなり苦手でした。解答を読んでいて、

何の数字のことかわからん!!



となることがよくありました。

しかし!

私が編み出した「あぶりだし法」を使うと非常にカンタンに解けます。

しかも、どんな群数列も同じやり方で解けるので、群数列を解くのが楽しくなります。

この記事を読むと、

[check]群数列の仕組みがわかる
[check]応用問題も解けるようになる
[check]どんな群数列も同じように解ける快感を味わえる

例題を使って解いてみる

実際に以下の問題でやってみます。

1,2,2,3,3,3,4,・・・

のように自然数\(n\)が\(n\)個ずつ並んでいる数列がある。

(1)はじめて30があらわれるのは第何項か
(2)第50項を求めよ
(3)初項から第50項までの和を求めよ。

群数列の典型的な問題です。

今から2つのステップで解いていきます。

ステップ1「表を作る」

問題文を読んだらまず次のような表を作ります。

群数列あぶりだし法

こうすると、どの数字が何の情報を示しているのか一目でわかります。

表を書いたら、第\(n\)群の「?」と書かれているところを求めます。

求める順番は以下の通り。

(1)項数
(2)添え字(末項)
(3)添え字(初項)
(4)項(初項と末項)

(1)項数

自然数\(n\)が\(n\)個ずつ並ぶので、第1群は1個、第2群は2個、・・・、第\(n\)群は\(n\)個です。

群数列あぶりだし法

(2)添え字(末項)

第1群から第4群までの末項に注目します。

群数列あぶりだし法

これはこういう規則になっています。

群数列あぶりだし法

第1群の末項の添え字=第1群の項数=1
第2群の末項の添え字=第1群から第2群までの項数の和=1+2=3
第3群の末項の添え字=第1群から第3群までの項数の和=1+2+3=6
第4群の末項の添え字=第1群から第4群までの項数の和=1+2+3+4=10

つまり、ある群の末項の添え字は、第1群からその群までの項数の和になっています。

よって、第\(n\)群の末項の添え字は\(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)となります。

群数列あぶりだし法

(3)添え字(初項)

まず第\((n-1)\)群の末項の添え字を求めます。下の赤い「?」のところです。

群数列あぶりだし法

第\(n\)群の末項の添え字が\(\frac{n(n+1)}{2}\)だったので、第\((n-1)\)群の末項の添え字は\(n\)に\(n-1\)を代入した\(\frac{n(n-1)}{2}\)になります。

群数列あぶりだし法

第\(n\)群の初項は第\((n-1)\)群の末項の次ですから、\(\frac{n(n-1)}{2}+1\)です。

群数列あぶりだし法

(4)項(初項と末項)

最後に第\(n\)群の初項と末項を求めます。下の赤い「?」です。

群数列あぶりだし法

第1群が1、第2群が2、第3群が3ですから、第\(n\)群は\(n\)です。

群数列あぶりだし法

これでステップ1「表を作る」が完了です。

表を作る意味

「なぜわざわざこんな表を作るのだろう?早く問題を解けばいいのに」と思った人もいるでしょう。

その理由は、この表の第\(n\)群のところを使うとありとあらゆる情報を求めることができるからです。

群数列あぶりだし法

\(n\)=4を代入すれば第4群の情報が、\(n\)=99999を代入すれば第99999群の情報が求まります。

群数列あぶりだし法

つまりこの表は万能細胞のようなもので、あらゆる群の情報を生み出すことができるのです。これを使うと問題がカンタンに解けます。

その様子を次のページで見ていきましょう。

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