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二次関数の平行移動のヒミツ

\(y=ax^2\)を\(x\)方向に\(+p\)、\(y\)方向に\(+q\)平行移動すると、\(y=a(x−p)^2+q\)になります。

習ったとき、こう思いませんでしたか?

「なんで\(x-p\)なの?\(x+p\)じゃないの?」

直感的には\(x+p\)になりそうなものです。実際、\(q\)についてはプラスになっていますし。

納得できないまま仕方なく暗記した人も多いのではないでしょうか。

この記事を読むと、

[check]\(x−p\)になる理由がわかります。
[check]平行移動の考え方が拡大・縮小、対称移動にまで応用できることがわかります。

普通の説明

普通はこういう説明が多いみたいです。

\(y=2x^2\)と\(y=2x^2+4\)について表を作ります。

二次関数の平行移動のヒミツ

グラフはこうなっています。

二次関数の平行移動のヒミツ

\(y=2x^2+4\)は\(y=2x^2\)を\(y\)方向に\(+4\)平行移動したものになることがわかります。

※赤い矢印の長さは原点から離れるほど短く見えますが、これは目の錯覚で、すべて同じ長さです。

これを一般化して、

「\(y=ax^2\)を\(y\)方向に\(+q\)平行移動したものは\(y=ax^2+q\)になる」

これは、\(y=\)(元の式)\(+q\)という形になっていてわかりやすいですね。

問題は\(x\)方向の平行移動。

\(y=2x^2\)と\(y=2(x−3)^2\)について先ほどと同じように表を作ります。

二次関数の平行移動のヒミツ

グラフはこうなります。

二次関数の平行移動のヒミツ

確かに\(y=2(x−3)^2\)は\(y=2x^2\)を\(x\)方向に\(+3\)平行移動したものになっています。

一般化すると「\(y=ax^2\)を\(x\)方向に\(+p\)平行移動したものは\(y=a(x−p)^2\)になる」

こうやって説明されれば確かにそうなっていることはわかるんですが、やっぱりしっくりこないのではないでしょうか。

\(p\)と\(q\)で似たようなことをやっているのに、 \(p\)はなぜか符号が逆転する。

いったいどうしてなんでしょうか。

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